交通事故の自動車事故トラブルに強い弁護士一覧

ご自身が事故を起こした以上、お支払いは当然の責任となりますから、なんとか払っていただくよりないですが、分割払いが可能かどうかは相手の方のご意向によりますので、確認してみるしかありません。
ただし、ご自身が十分な支払いができない場合、被害者である相手の方は、車の所有者に請求することも有り得ます。
そのため、その車が保険に入っていれば、まずはこれを利用することをご検討いただく方が現実的かと思います。
保険にも入らず、支払い能力もない運転者は被害者からすると、絶望的な恐怖ですから、今後いかなる理由があっても運転はなさらない方がよいです。

怪我をしていなければ、診断書は発行されません。
ただし、交通事故の怪我には、目で見てわかる怪我だけでなく、むち打ちや捻挫といった自覚症状が主訴になる怪我も多々あり、そういった事案でも診断書は発行されます。
そのため、本件の様に、運転者が首が痛いと訴えている場合には、診断書が発行される可能性は十分にあり得ます。

推察するに、相手の保険会社も相手本人に手を焼いていて、困っていたように思います。
というのも、ご説明の状況ですと、１００：０でもよさそうなものですから、おそらく、それではいやだと相手本人がゴネて相手の保険会社がなんとか９５：５で、、、という流れなのかなと思います。
その上で、さらに相手本人がまだゴネてわがままを言いだして、保険会社に対してへそを曲げたのかな、という感じに思いますね。よくあることです。

そうなってくると、相手の保険会社としては契約者である相手本人にこれ以上どうともできませんから、ご相談者様としても、弁護士に依頼して対応してもらい、おそらくは訴訟になると思います。
弁護士特約があれば、費用面で依頼も比較的ハードルが低いですが、弁護士特約は入っておられますでしょうか。入っておられましたら、地元の交通事故（特に駐車場事故は少し特殊です）に詳しい弁護士にご相談とご依頼をなさってはいかがでしょうか。